Cho hai số thực a>1,b>1. Biết phương trình \({{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S={{\left( \frac...

* Hướng dẫn giải

Ta có \({{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\Leftrightarrow x{{\log }_{b}}a+\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x{{\log }_{b}}a-1=0\)

Do phương trình có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) nên theo định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-{{\log }_{b}}a \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó \(S=\frac{1}{\log _{b}^{2}a}+4{{\log }_{b}}a\)

Đặt \(t={{\log }_{b}}a\), do \(a>1,b>1\Rightarrow t>0\). Khi đó \(S=\frac{1}{{{t}^{2}}}+4t=\frac{1}{{{t}^{2}}}+2t+2t\ge 3\sqrt[3]{4}\).

Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{1}{{{t}^{2}}}=2t\Leftrightarrow t=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\). Vậy \(\min S=3\sqrt[3]{4}\)