Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+z+1=0.\) Tính \(P=z_{1}^{2020}+z_{2}^{2020}.\)

* Hướng dẫn giải

Vì \({{z}_{1}}\) là nghiệm của phương trình nên \({{z}_{1}}^{2}+{{z}_{1}}+1=0\Rightarrow \left( {{z}_{1}}-1 \right)\left( {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{1}}+1 \right)=0 \Rightarrow z_{1}^{3}=1\Rightarrow z_{1}^{2019}=1\Rightarrow z_{1}^{2020}={{z}_{1}}.\)

Vì \({{z}_{2}}\) là nghiệm của phương trình nên \({{z}_{2}}^{2}+{{z}_{2}}+1=0\Rightarrow \left( {{z}_{2}}-1 \right)\left( {{z}_{2}}^{2}+{{z}_{2}}+1 \right)=0 \Rightarrow z_{2}^{3}=1\Rightarrow z_{2}^{2019}=1\Rightarrow z_{2}^{2020}={{z}_{2}}.\)

Do đó \(P=z_{1}^{2020}+z_{2}^{2020}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-1.\)