Tìm m để phương trình \(\cos 2x+2(m+1)\sin x-2m-1=0\) có đúng 3 nghiệm \(x\in \left( 0;\pi \right).\)

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\cos 2x+2(m+1)\sin x-2m-1=0\)

\(\Leftrightarrow 1-2{{\sin }^{2}}x+2\left( m+1 \right)\text{sin}x-2m-1=0\)

\(\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-\left( m+1 \right)\text{sin}x+m=0 \left( 1 \right)\)

Đặt t=sin x, ta có pt: \({{t}^{2}}-(m+1)t+m=0 \left( * \right)\)

Để pt \(\left( 1 \right)\) có đúng ba nghiệm \(x\in \left( 0;\pi  \right)\) khi pt \(\left( * \right)\) có hai nghiệm trong đó có một nghiệm bằng 1 và một nghiệm \(t\in \left( 0;1 \right)\)

* TH1: \({{t}_{1}}=1\Rightarrow \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow m\in \mathbb{R}\)

* TH2: \(t\in \left( 0;1 \right)\).

Theo hệ thức Viet, ta có: \({{t}_{1}}+{{t}_{2}}=m+1\) với \({{t}_{1}}=1\) nên \({{t}_{2}}=m\), suy ra: 0<m<1