Xét các số nguyên dương a,b sao cho phương trình \(b{{\ln }^{2}}x+a\ln x+3=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) và phương trình \(3{{\log }^{2}}x+a\log x+b=0\) có ha...

* Hướng dẫn giải

Hai phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \({{a}^{2}}-12b>0\left( * \right).\)

Ta có: \(\ln {{x}_{1}}+\ln {{x}_{2}}=-\frac{a}{b}\Leftrightarrow \ln \left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=-\frac{a}{b}\) và \(\log {{x}_{3}}+\log {{x}_{4}}=-\frac{a}{3}\Leftrightarrow \log \left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)=-\frac{a}{3}.\)

Do đó: \(\ln {{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{10}}>\log {{\left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)}^{e}}\Leftrightarrow 10\ln \left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)>e\log \left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)\Leftrightarrow 10\left( -\frac{a}{b} \right)>e\left( -\frac{a}{3} \right)\)

\(\Leftrightarrow b>\frac{30}{e}\Rightarrow {{b}_{\min }}=12\)

Khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}>\frac{360}{e}\Rightarrow a>\sqrt{\frac{360}{e}}\Rightarrow {{a}_{\min }}=12\)

Vậy \({{S}_{\min }}=5.12+3.12=96.\)