Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x-\frac{2}{3}\) đồng biến trên \(\left( 1;+\infty \right)\)

* Hướng dẫn giải

• Ta có \({y}'={{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3\)

• Hàm số đồng biến trên \(\left( 1;+\infty  \right)\) khi và chỉ khi \({y}'\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right)\Leftrightarrow 2m\ge \frac{-{{x}^{2}}+2x+3}{x+1}.\)

• Đặt \(g\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+2x+3}{x+1}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\frac{-{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=-1<0;\forall x\in \left( 1;+\infty  \right)\)

• Do đó \(\underset{\left( 1;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=2\Rightarrow 2m\ge 2\Rightarrow m\ge 1.\)