Số nghiệm thực của phương trình \({{x}^{5}}+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}}-2017=0\)

* Hướng dẫn giải

ĐK: \(\left[ \begin{matrix} x<-\sqrt{2} \\ x>\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right..\) Ta xét \(f\left( x \right)={{x}^{5}}+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}}-2017\). Có \({f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}-\frac{2}{\left( {{x}^{2}}-2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-2}}\).

\({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 5{{x}^{4}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-2}-2=0\)

Xét với \(x<-\sqrt{2}\) thì \(f\left( x \right)<0\Rightarrow f\left( x \right)=0\) không có nghiệm trong khoảng này.

Với \(x>\sqrt{2}\) thì \(\left( * \right)\) có vế trai là đồng biến nên chỉ có tối đa một nghiệm tức là \(f\left( x \right)\) chỉ có tối đa 2 nghệm.

Mà \(f\left( 1,45 \right)>0;f\left( 3 \right)<0;f\left( 10 \right)>0\) nên \(f\left( x \right)\) có nghiệm thuộc \(\left( 1,45;3 \right);\left( 3;10 \right)\) từ đó \(f\left( x \right)=0\) có đúng 2 nghiệm.