Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( -2;-2;1 \right), A\left( 1;2;-3 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}\). Tìm một vectơ c...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(\left( P \right)\) là mp đi qua M và vuông góc với d, khi đó (P)  chứa \(\Delta \).

Mp \(\left( P \right)\) qua \(M\left( -2;-2;1 \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)\) nên có phương trình:

\(\left( P \right):2x+2y-z+9=0\).

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên \(\left( P \right)\) và \(\Delta \). Khi đó: \(AK\ge AH:const\) nên \(A{{K}_{\min }}\)

khi \(K\equiv H\). Đường thẳng AH đi qua \(A\left( 1,2,-3 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)\) nên

(P) có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + 2t\\ z = - 3 - t \end{array} \right.\).

\(H\in AH\Rightarrow H\left( 1+2t;2+2t;-3-t \right)\).

\(H\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0\Rightarrow t=-2\Rightarrow H\left( -3;-2;-1 \right)\).

Vậy \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{HM}=\left( 1;0;2 \right)\).