Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ. Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{3}{4}{{x}^{2}}+\...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - {x^2} - \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = {x^2} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( -1 \right)\).

Đặt \(t=\left| x+3 \right|-4\) với \(x\in \left[ -2;2 \right]\) thì \(t\in \left[ -3;1 \right]\).

Khi đó \(\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( \left| x+3 \right|-4 \right)=\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( t \right)=g\left( -1 \right)\).