Cho hàm số . Tính tích phân \(I = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xf\left( {\sin x} \right){\rm{d}}x} + 2\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right){\rm{d}}x} \).

* Hướng dẫn giải

Đặt t  =sinx \( \Rightarrow {\rm{d}}t = \cos x{\rm{d}}x\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 0\\ x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\).

Khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xf\left( \sin x \right)\text{d}x} =\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)\text{d}t} =\int\limits_{0}^{1}{\left( 5-3t \right)\text{dt}}=\frac{7}{2}\).

Đặt \(t=3-2x \Rightarrow \text{d}t=-2\text{d}x\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 3\\ x = 1 \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\).

Khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)\text{d}x} =-\frac{1}{2}\int\limits_{3}^{1}{f\left( t \right)\text{d}t} =\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{\left( -3{{t}^{2}}+5t \right)\text{d}t}=-3\).

Vậy \(I=3.\frac{7}{2}+2\left( -3 \right)=\frac{9}{2}\).