Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| \bar{z}+1-2i \right|=\left| z+3+4i \right|\) và \(\frac{\bar{z}-2i}{z+i}\) là số thuần ảo?

* Hướng dẫn giải

Gọi z=x+yi, \(\left( x\,,\,y\in \mathbb{R} \right)\). Theo giả thiết ta có

\(\left| \bar{z}+1-2i \right|=\left| z+3+4i \right| \Leftrightarrow \left| x-yi+1-2i \right|=\left| x+yi+3+4i \right| \Leftrightarrow \left| \left( x+1 \right)-\left( y+2 \right)i \right|=\left| \left( x+3 \right)+\left( y+4 \right)i \right| \left( 1 \right)\).

\(\frac{\bar{z}-2i}{z+i} =\frac{x-yi-2i}{x+yi+i} =\frac{{{x}^{2}}-\left( y+1 \right)\left( y+2 \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}-\frac{2xy+3x}{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}i =\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-3y-2}{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}-\frac{2xy+3x}{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}i\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2}\\ {x^2} - \left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x + 4y = - 20\\ {x^2} - {y^2} - 3y - 2 = 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 5 - y\\ {\left( { - 5 - y} \right)^2} - {y^2} - 3y - 2 = 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{{12}}{7}\\ y = - \frac{{23}}{7} \end{array} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên có 1 số phức z thỏa mãn bài toán.