Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x+m}{x+1}\) trên đoạn \(\left[ 1;2 \right]\) bằng 8 (m là tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({y}'=\frac{1-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\).

- Nếu \(m=1\Rightarrow y=1\) (loại).

- Nếu \(m\ne 1\) khi đó \({y}'<0,\,\forall \,x\in \left[ 1;2 \right]\,\) hoặc \({y}'>0,\,\forall \,x\in \left[ 1;2 \right]\,\,\) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại \(x=1,\,\,x=2\).

Theo bài ra: \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=8\Leftrightarrow y\left( 1 \right)+y\left( 2 \right)=\frac{1+m}{2}+\frac{2+m}{3}=8\Leftrightarrow m=\frac{41}{5}\in \left( 8;10 \right)\).