Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA' (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng \(\left( A{B}'C \right)\)...

* Hướng dẫn giải

Trong \(\left( AB{B}'{A}' \right)\), gọi E là giao điểm của BM và \(A{B}'\). Khi đó hai tam giác EAM và \(E{B}'B\) đồng dạng. Do đó \(\frac{d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)}{d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)}=\frac{EM}{EB}=\frac{MA}{B{B}'}=\frac{1}{2}\Rightarrow d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\frac{1}{2}\cdot d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)\).

Từ B kẻ \(BN\bot AC\) thì N là trung điểm của AC và \(BN=\frac{a\sqrt{3}}{2}, B{B}'=a\).

Kẻ \(BI\bot {B}'N\) thì \(d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)=BI=\frac{B{B}'\cdot BN}{\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}+B{{N}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}\).

Vậy \(d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\frac{1}{2}\cdot d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)=\frac{a\sqrt{21}}{14}\).