Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) ở hình vẽ bên. Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{3}{4}{{x}^{2}}+\f...

* Hướng dẫn giải

Ta có \({g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}={f}'\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2} \right)\).

Vẽ parabol \(\left( P \right):y={{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\). Ta thấy \(\left( P \right)\) đi qua các điểm có toạ độ \(\left( -3\,;3 \right),\left( -1\,;2 \right), \left( 1\,;1 \right)\).

+ Trên khoảng \(\left( -3\,;-1 \right)\) đồ thị hàm số \({f}'\left( x \right)\) nằm phía dưới \(\left( P \right)\) nên

 \({f}'\left( x \right)<\left( {{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0\).

+ Trên khoảng \(\left( -1\,;1 \right)\) đồ thị hàm số \({f}'\left( x \right)\) nằm phía trên \(\left( P \right)\) nên

\({f}'\left( x \right)>\left( {{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0\).

+ Trên khoảng \(\left( 1\,;+\infty  \right)\) đồ thị hàm số \({f}'\left( x \right)\) nằm phía dưới \(\left( P \right)\) nên

\({f}'\left( x \right)<\left( {{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có \(\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( -1 \right)\).