Cho hàm số .Tích phân \(\int\limits_0^{\ln 3} {{e^x}f\left( {{e^x} - 1} \right)dx} \) bằng

* Hướng dẫn giải

Xét \(\int\limits_0^{\ln 3} {{e^x}f\left( {{e^x} - 1} \right)dx} \). Đặt \(u = {e^x} - 1 \Rightarrow du = {e^x}dx\), ta có bảng đổi cận:

\(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow u = {e^0} - 1 = 0\\ x = \ln 3 \Rightarrow u = {e^{\ln 3}} - 1 = 2 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {f\left( u \right)du = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} } \)

Do \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x \ge 1\\ {x^2} - 2x + 3\,\,\,khi\,x < 1 \end{array} \right. \Rightarrow I = \left[ {\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)du} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} } \right]\, = \left( {\frac{4}{3} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{{11}}{6}\)