Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z+2-i \right|=2\sqrt{2}\) và \({{\left( z-i \right)}^{2}}\) là số thuần ảo

* Hướng dẫn giải

Đặt z = x + yi

Ta có \(\left| {z + 2 - i} \right| = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow {(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 8\) (1)

Có \({\left( {z - i} \right)^2} = {\left[ {x + (y - 1)i} \right]^2} = {x^2} - {(y - 1)^2} + 2x(y - 1)i\) là số phức thuần ảo nên ta suy ra

\({x^2} - {(y - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y - 1 = x\\ y - 1 = - x \end{array} \right.\) thế vào (1) ta có

 Lúc đó \((1) \Leftrightarrow {(x + 2)^2} + {x^2} = 8 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt 3 \)

\(\left[ \begin{array}{l} x = - 1 - \sqrt 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y = - \sqrt 3 \\ y = 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\\ x = - 1 + \sqrt 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 2 + \sqrt 3 \\ y = - \sqrt 3 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

Vậy có 4 số phức .