Cho hình chóp đều S.ABC có \(AB=a\sqrt{3}\), khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{3a}{4}\) . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\frac{d(G;(SBC))}{d(A;(SBC))}=\frac{GM}{MA}\Leftrightarrow \frac{d(G;(SBC))}{d(A;(SBC))}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow d(G;(SBC))=\frac{1}{3}d(A;(SBC))=\frac{a}{4}\) 

Hay \(GH=\frac{a}{4}\) 

Ta có \(\Delta ABC\)  là tam giác đều nên \(AM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}\)  và \(GM=\frac{AM}{3}=\frac{a}{2}\) 

Xét \(\Delta SGM\)  có \(\frac{1}{G{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{G}^{2}}}+\frac{1}{G{{M}^{2}}}\Leftrightarrow S{{G}^{2}}=\frac{G{{H}^{2}}.G{{M}^{2}}}{G{{M}^{2}}-G{{H}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{12}\Rightarrow SG=\frac{a}{2\sqrt{3}}\) 

Vậy thể tích khối chóp \(V=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SG=\frac{1}{3}\frac{{{(a\sqrt{3})}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{{{a}^{3}}}{8}\)