Cho \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)x\text{d}x=2}\). Khi đó \(I=\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)}\text{d}x\) bằng:

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t={{x}^{2}}+1\Rightarrow dt=2xdx\)

Đổi cận: \(x=1\Rightarrow t=2, x=2\Rightarrow t=5\)

Khi đó: \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)x\text{d}x=\frac{1}{2}}\int\limits_{2}^{5}{f\left( t \right)\text{d}t} \Rightarrow \int\limits_{2}^{5}{f\left( t \right)}\text{d}t=2\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)x\text{d}x=4}\)

Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: \(I=\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int\limits_{2}^{5}{f\left( t \right)}\text{d}t=4\).