Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi giá trị của y có không quá 5 số nguyên x thoả mãn bất phương trình \(\left( {{5}^{x}}-1 \right)\left( {{2.5}^{x}}-y \right)\le 0\...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t={{5}^{x}}>0\). Bất phương trình trở thành: \(\left( t-1 \right)\left( 2t-y \right)\le 0$ hay \(\left( t-1 \right)\left( t-\frac{y}{2} \right)\le 0\,\left( * \right)\)

+) TH1: \(0<\frac{y}{2}\le 1\Leftrightarrow 0<y\le 2\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{y}{2}\le t\le 1\Leftrightarrow \frac{y}{2}\le {{5}^{x}}\le 1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\frac{y}{2}\le x\le 0\Leftrightarrow x=0\) Có 1 nghiệm nên thoả mãn.

+) TH2: \(\frac{y}{2}>1\Leftrightarrow y>2\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{y}{2}\ge t\ge 1\Leftrightarrow \frac{y}{2}\ge {{5}^{x}}\ge 1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\frac{y}{2}\ge x\ge 0\). Theo yêu cầu đầu bài có không qua 5 số nguyên x thoả mãn. Vậy x chỉ có thể lấy tối đa từ 0 đến 4 hay

\({{\log }_{5}}\frac{y}{2}\le 4\Leftrightarrow 1<\frac{y}{2}\le {{5}^{4}}=625\Leftrightarrow 2<y\le 1250\).

=>Cả hai trường hợp : \(y=\left\{ 1;2;....;1250 \right\}\) có 1250 số thoả mãn.