Bác An có một khối cầu pha lê \(\left( S \right)\) có bán kính bằng \(5\,\,\text{cm}\). Bác muốn từ \(\left( S \right)\) làm một vật lưu niệm có hình dạng là một khối hộp chữ nhật...

* Hướng dẫn giải

+ Gọi ba cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là \(a,b,c\,\,\left( a,b,c>0 \right)\).

Lúc đó: \(\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4{{R}^{2}}\,\,(1)\).

+ Thể tích của khối hộp chữ nhật là: \(V=a.b.c=\sqrt{{{a}^{2}}.{{b}^{2}}.{{c}^{2}}}\le \sqrt{{{\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3} \right)}^{3}}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}{{R}^{3}}\).

Vậy thể tích pha lê bác An bỏ đi để tạo ra vật lưu niệm có thể tích lớn nhất là:

\(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}-\frac{8\sqrt{3}}{9}{{R}^{3}}\approx 331,15\left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\).