Cho số phức z thỏa mãn |z-2i| |z-4i| và \(\left| z-3-3i \right|=1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| z-2 \right|\) là:

* Hướng dẫn giải

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z ta có: \(\left| z-2i \right|\le \left| z-4i \right|\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}\le {{x}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow y\le 3;\,\,\left| z-3-3i \right|=1\Leftrightarrow \) điểm M nằm trên đường tròn tâm I(3;3) và bán kính bằng 1.

Biểu thức \(P=\left| z-2 \right|=AM\) trong đó A(2;0), theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của \(P=\left| z-2 \right|\) đạt được khi M(4;3) nên \(\max P=\sqrt{{{(4-2)}^{2}}+{{(3-0)}^{2}}}=\sqrt{13}\).