Cho hình lăng trụ đều \(ABC{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=a\,;\,A{A}'=a\sqrt{2}\) (như hình vẽ). Tính góc giữa đường thẳng \(A{C}'\) và mặt phẳng \(\left( AB{B}'{A}' \right)\).

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm \({A}'{B}'\).

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & {C}'M\bot {A}'{B}' \\ & {C}'M\bot A{A}' \\ \end{align} \right.\Rightarrow {C}'M\bot \left( AB{B}'{A}' \right)\). Suy ra M là hình chiếu của \({C}'\) lên mặt phẳng \(\left( AB{B}'{A}' \right)\). Do đó, AM là hình chiếu của \(A{C}'\) lên mặt phẳng \(\left( AB{B}'{A}' \right)\).

\(\Rightarrow \left( A{C}'\,,\,\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=\left( A{C}'\,,\,AM \right)=\widehat{MA{C}'}\).

\({C}'M=\frac{a\sqrt{3}}{2}\,;\,AM=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+{A}'{{M}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{3a}{2}\).

\(\tan \widehat{MA{C}'}=\frac{M{C}'}{AM}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{MA{C}'}=30{}^\circ \).