Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m để phương trình \({{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-2 \right)-{{\log }_{2}}\left( mx-16 \right)=0\) có hai nghiệm thực phân biệt. Tính tổng các...

* Hướng dẫn giải

Điều kiện x>2 và mx-16>0.

Khi đó \({{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-2 \right)-{{\log }_{2}}\left( mx-16 \right)=0\) tương đương với \({{\log }_{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}\left( mx-16 \right)\)

Hay \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( m+4 \right)x+20=0\,\,\,\left( 1 \right).\)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2 .

Hay \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = {\left( {m + 4} \right)^2} - 80 > 0\\ f\left( 2 \right) = 16 - 2m > 0\\ \frac{S}{2} = \frac{{m + 4}}{2} > 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow - \,4 + \,4\sqrt 5 < m < 8.\)

Suy ra \(m \in \left\{ {5,6,7} \right\}.\)

Vậy tổng các phần tử của S bằng 18.