Cho hình chóp S.ABC là tam giác vuông tại A, \(\widehat{ABC}=30{}^\circ \), BC=a. Hai mặt bên \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\) cùng vuông góc với đáy \(\left( ABC \...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\ \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\ \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA \end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\)

Kẻ \(AH \bot BC \Rightarrow SH \bot BC\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\ BC \bot AH\\ BC \bot SH \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {SHA} = 45^\circ \)

Mà \(AB = BC.{\rm{cos}}30^\circ  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(AC = BC.\sin 30^\circ  = \frac{a}{2}\) nên \(AH = AB.\sin 30^\circ  = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Nên \(SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Do đó \(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{6}AB.AC.SA = \frac{{{a^3}}}{{32}}\).