Cho hàm số . Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{f\left( {3\tan x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}\;dx} \) bằng

* Hướng dẫn giải

Đặt \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{f\left( 3\tan x+1 \right)}{{{\cos }^{2}}x}~dx}\)

Đặt \(u=3\tan x+1\Rightarrow du=3.\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}\)

Đổi cận \(x=0\Rightarrow t=1;x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=4.\)

Do đó \(I=\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{4}{f\left( u \right)du=\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)dx}}=\frac{1}{3}\left[ \int\limits_{1}^{3}{\left( 2x+1 \right)du}+\int\limits_{3}^{4}{\left( {{x}^{2}}-2 \right)dx} \right]=\frac{1}{3}\left( 10+\frac{31}{3} \right)=\frac{61}{9}\)