Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| z-3i \right|=5\) và \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo?

* Hướng dẫn giải

Giả sử \(z=x+yi\ \left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( x\,;\,y \right)\)

Ta có \(\left| z-3i \right|=5\Rightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=25\Rightarrow M\in \left( C \right)\): tâm \(I\left( 0;3 \right)\), bán kính R=5

Ta lại có \(\frac{z}{z-4}=\frac{x+yi}{\left( x-4 \right)+yi}=\frac{\left( x+yi \right)\left[ \left( x-4 \right)-yi \right]}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{-xy+\left( x-4 \right)y}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}i\) .

Do đó \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x=0 \\ & \left( x;y \right)\ne \left( 4;0 \right) \\ \end{align} \right.\)

⇒ \(M \in(C')\): với tâm \(K\left( 2;0 \right)\), bán kính \(R'=2,M\ne N\left( 4\,;\,0 \right).\)

Ta có \(R-R'<IK=\sqrt{13}<R+R'\) suy ra hai đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( C' \right)\) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Lại có điểm \(N\left( 0\,;\,4 \right)\) đều thuộc hai đường tròn

Vậy có 1 số phức z thỏa yêu cầu bài toán.