Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và \(SA\bot \left( ABCD \right),\) góc giữa SA và mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) bằng \({{30}^{{}^\circ }}\). Thể tích của k...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O=AC\cap BD,\) kẻ \(AH\bot SO\left( H\in SO \right).\)

Ta có \(\left. \begin{align} & BD\bot AC \\ & BD\bot SA \\ \end{align} \right\}\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right).\)

\(\Rightarrow SH\) là hình chiếu vuông góc từ SA xuống \(\left( SBD \right).\)

\(\Rightarrow \left( \widehat{SA,\left( SBD \right)} \right)=\left( \widehat{SA,SH} \right)=\widehat{ASH}=\widehat{ASO}={{30}^{\circ }}. \Rightarrow SA=\cot {{30}^{\circ }}.OA=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)

\(\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}\cdot {{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.\)