Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có \(f\left( 0 \right)=1\) và đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ. ​ Hàm số \(y=\left| f\left( 3x \...

* Hướng dẫn giải

Đặt

\(\begin{array}{l} g\left( x \right) = f\left( {3x} \right) - 9{x^3} - 1\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = 3f'\left( {3x} \right) - 27{x^2}\\ g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {3x} \right) = {\left( {3x} \right)^2}\left( * \right) \end{array}\)

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) và \(y={{x}^{2}}\) như hình bên.

Từ đồ thị hàm số ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = 0\\ 3x = 1\\ 3x = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{1}{3}\\ x = \frac{2}{3} \end{array} \right.\)

Khi đó \(g'\left( x \right)>0\Leftrightarrow f'\left( 3x \right)>{{\left( 3x \right)}^{2}}\Leftrightarrow 0<x<\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow g'\left( x \right)<0\) trên \(\left( -\infty ;0 \right);\left( \frac{2}{3};+\infty  \right)\)

Ta có \(g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-{{9.0}^{3}}-1=0\)

Bảng biến thiên của hàm số \(y=g\left( x \right)\)

Từ bảng biến thiên ta có hàm số \(y=\left| g\left( x \right) \right|\) đồng biến trên \(\left( 0;\frac{2}{3} \right)\).