Cho hàm số bậc 3 \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ, biết \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm x=1 và

* Hướng dẫn giải

Đặt \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) theo giả thiết có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) + 1 = a{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + m} \right)}\\ {f\left( x \right) - 1 = a{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x + n} \right)} \end{array}} \right.\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( 1 \right) + 1 = 0}\\ {f\left( { - 1} \right) - 1 = 0}\\ {f\left( 0 \right) = 0}\\ {f'\left( 1 \right) = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a + b + c + d + 1 = 0}\\ { - a + b - c + d - 1 = 0}\\ {d = 0}\\ {3a + 2b + c = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = \frac{1}{2}}\\ {b = 0}\\ {c = - \frac{3}{2}}\\ {d = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}x} \right.\)

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \pm \sqrt 3 } \end{array}} \right.\)

S₁ là diện tích giới hạn bởi đồ thị \(y=\frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x,y=-1, x=0,x=1\Rightarrow {{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left| \frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x+1 \right|=\frac{3}{8}}\left( 1 \right)\)

\({{S}_{2}}\) là diện tích giới hạn bởi đồ thị \(y=\frac{1}{3}{{x}^{2}}-\frac{3}{2}x, y=0,x=1,x=\sqrt{3} \Rightarrow {{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{\left| \frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x \right|=\frac{1}{2}}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow 2{{S}_{2}}+8{{S}_{1}}=2.\frac{1}{2}+8.\frac{3}{8}=4\).