Cho số phức \({{z}_{1}}, {{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=12\) và \(\left| {{z}_{2}}-3-4\text{i} \right|=5\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \righ...

* Hướng dẫn giải

Gọi \({{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}\text{i}\) và \({{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}\text{i}\), trong đó \({{x}_{1}}, {{y}_{1}}, {{x}_{2}}, {{y}_{2}}\in \mathbb{R}\); đồng thời \({{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\) và \({{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({{z}_{1}}, {{z}_{2}}\).

Theo giả thiết, ta có \(\left\{ \begin{align} & x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=144 \\ & {{\left( {{x}_{2}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-4 \right)}^{2}}=25 \\ \end{align} \right.\).

Do đó \({{M}_{1}}\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\) có tâm \(O\left( 0;0 \right)\) và bán kính \({{R}_{1}}=12, {{M}_{2}}\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right)\) có tâm \(I\left( 3;4 \right)\) và bán kính \({{R}_{2}}=5\).

Mặt khác, ta có \(\left\{ \begin{align} & O\in \left( {{C}_{2}} \right) \\ & OI=5<7={{R}_{1}}-{{R}_{2}} \\ \end{align} \right.\) nên \(\left( {{C}_{2}} \right)\) chứa trong \(\left( {{C}_{1}} \right)\).

Khi đó \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|={{M}_{1}}{{M}_{2}}\). Suy ra \({{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow {{M}_{1}}{{M}_{2}}={{R}_{1}}-2{{R}_{2}}=2\).