Có bao nhiêu cặp số \(\left( x;\,y \right)\) thỏa mãn tính chất \({{\left( {{\log }_{y}}x \right)}^{2021}}={{\log }_{y}}{{x}^{2021}}\), ở đó x là số thực dương, y là số nguyên dươn...

* Hướng dẫn giải

ĐK \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ y \in {N^*},\,\,2 \le y \le 2020 \end{array} \right.\)

\({\left( {{{\log }_y}x} \right)^{2021}} = {\log _y}{x^{2021}} \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_y}x} \right)^{2021}} - 2021.{\log _y}x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _y}x = 0\\ {\left( {{{\log }_y}x} \right)^{2020}} = 2021 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ {\log _y}x = \pm \sqrt[{2020}]{{2021}} = \pm a \ne \pm 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = {y^{ \pm a}} \end{array} \right.\)

Với \(x=1\Rightarrow y\in \left\{ 2;3;4;...;2020 \right\}\Rightarrow \) có 2019 cặp \(\left( x;\,y \right)\)

\(x={{y}^{\pm a}},\) có \(2\le y\le 2020\Rightarrow \) có 2019.2=4038 cặp \(\left( x;\,y \right)\)

Vậy có 6057.