Xét số phức z thỏa mãn \(\left| z+3-2i \right|+\left| z-3+i \right|=3\sqrt{5}\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left| z+2 \right|+\lef...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(A\left( -3;2 \right),B\left( 3;-1 \right),C\left( -2;0 \right),D\left( 1;3 \right)\)

Từ giả thiết suy ra tập hợp điểm biểu diễn z là đoạn thẳng AB. Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của NC+ND, với N là một điểm bất kì trên đoạn AB.

Dễ thấy CD cắt AB nên NC+ND nhỏ nhất khi C,N,D thẳng hàng, \(\text{ }\Rightarrow m=CD=3\sqrt{2}\).

\(NC+ND\le \sqrt{2}\sqrt{N{{C}^{2}}+N{{D}^{2}}}\)

Gọi I là trung điểm CD, \(N{{C}^{2}}+N{{D}^{2}}=2N{{I}^{2}}+\frac{C{{D}^{2}}}{2}\). Gọi H là hình chiếu của I lên CD, do AH<HB nên NI lớn nhất khi N trùng B.

Vậy \(M=CB+DB=\sqrt{26}+2\sqrt{5}\).