Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều, có cạnh đáy bằng a

* Hướng dẫn giải

Giả sử mặt cầu đi qua đỉnh A của hình chóp và tiếp xúc với cạnh SB tại B1, tiếp xúc với cạnh SC tại ${\mathrm{C}}_1$. Khi đó mặt cầu cắt cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm ${\mathrm{C}}_2, {\mathrm{B}}_2$. Mặt phẳng (SAB) cắt mặt cầu đó theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn này tiếp xúc với SB tại B1 và đi qua A và ${\mathrm{C}}_2$

Do đó, ta có:${{\mathrm{BB}}_1}^2=\mathrm{BA}.{\mathrm{BC}}_2$

trong đó 

Do đó 

Vậy

Điều đó chứng tỏ mặt cầu nói trên đi qua trung điểm ${\mathrm{C}}_2$ của đoạn AB. Lí luận tương tự ta chứng minh được mặt cầu đó đi qua trung điểm ${\mathrm{B}}_2$ của AC.