Tập nghiệm của bất phương trình \(({{3}^{2x}}-9)({{3}^{x}}-\frac{1}{27})\sqrt{{{3}^{x+1}}-1}\le 0\) chứa bao nhiêu số nguyên ?

* Hướng dẫn giải

Điều kiện \({{3}^{x+1}}-1\ge 0\Leftrightarrow {{3}^{x+1}}\ge 1\Leftrightarrow x\ge -1\).

+ Ta có x=-1 là một nghiệm của bất phương trình.

+ Với x>-1, bất phương trình tương đương với \(({{3}^{2x}}-9)({{3}^{x}}-\frac{1}{27})\le 0\).

Đặt \(t={{3}^{x}}>0\), ta có \(({{t}^{2}}-9)(t-\frac{1}{27})\le 0\Leftrightarrow (t-3)(t+3)(t-\frac{1}{27})\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t\le -3 \\ & \frac{1}{27}\le t\le 3 \\ \end{align} \right.\)

Kết hợp điều kiện \(t={{3}^{x}}>0\) ta được nghiệm \(\frac{1}{27}\le t\le 3\Leftrightarrow \frac{1}{27}\le {{3}^{x}}\le 3\Leftrightarrow -3\le x\le 1\).

Kết hợp điều kiện x>-1 ta được \(-1<x\le 1\) suy ra trường hợp này bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.

Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm nguyên.