Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} + 1} \) biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( { - x} \right)}}} {\rm{d}}x = a + b\sqrt c \) với \(a,\,b,\,c\...

* Hướng dẫn giải

Tập xác định : D = R.

Ta có: \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} + 1}  \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) =  - x + \sqrt {{x^2} + 1}  = \frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\).

Vậy \(\frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( { - x} \right)}} = {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2} = 2{x^2} + 1 + 2x\sqrt {{x^2} + 1} \).

Khi đó : \(\int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1 + 2x\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1} \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {\left( {2x\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} {\rm{d}}x = \frac{5}{3} + \int\limits_0^1 {\left( {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} {\rm{d}}x\)

\( = \frac{5}{3} + \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} {\rm{d}}\left( {{x^2} + 1} \right) = \frac{5}{3} + \left. {\frac{2}{3}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^1 = \frac{5}{3} + \frac{{4\sqrt 2 }}{3} - \frac{2}{3} = 1 + \frac{4}{3}.\sqrt 2 \)

Vậy \(a = 1\,;\,b = \frac{4}{3}\,;\,c = 2\) khi đó \(P = a + b + c = \frac{{13}}{3}\).