Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 0;1;2 \right)\) và \(B\left( \sqrt{3};1;3 \right)\) thoả mãn \(AB\bot BC,AB\bot AD, AD\bot BC\). Gọi (S) là mặt cầu có đường kính AB,...

* Hướng dẫn giải

\(A\left( 0;1;2 \right)\) và \(B\left( \sqrt{3};1;3 \right)\) suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{3};0;1 \right)\Rightarrow AB=2\)

Ta có: hình lập phương có cạnh bằng độ dài cạnh AB=2 và mặt cầu (S) có bán kính bằng EF tiếp xúc với các mặt của hình lập phương trên, gọi F là trung điểm CD thì suy ra CD luôn tiếp xúc với mặt cầu (S)

Từ hình vẽ trên ta cũng suy ra được \(d\left( A;\Delta  \right)=AM=a\sqrt{3}\) với M thuộc đường tròn thiết diện qua tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng chứa CD và khoảng cách giữa \(\Delta \) và CD bằng \(M{F}'\) với \(M{F}'\) vuông góc mặt phẳng chứa CD

Suy ra khoảng cách giữa \(\Delta \) và CD lớn nhất bằng \(M{F}'=MJ+J{F}'\) như hình vẽ trên

Từ đây ta có: \(MB=\sqrt{A{{B}^{2}}-MA{{}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2R \right)}^{2}}-MA{{}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=1\)

Xét \(\Delta AMB\) vuông tại M có \(MJ\bot AB\) nên ta có: \(\frac{1}{M{{J}^{2}}}=\frac{1}{MA{{}^{2}}}+\frac{1}{MB{{}^{2}}}\) (hệ thức lượng)

Suy ra \(MJ=\frac{MA.MB}{\sqrt{MA{{}^{2}}+MB{{}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}}{2};JF=\frac{AB}{2}=\frac{2}{2}=1\);

Như vậy ta suy ra khoảng cách giữa \(\Delta \) và CD lớn nhất bằng

\(M{F}'=MJ+J{F}'=\frac{\sqrt{3}}{2}+1=\frac{\sqrt{3}+2}{2}\).