Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=3\) và \(f\left( x \right)+x{f}'\left( x \right)=4x+1\) với mọi x>0. Tính \(f\left( 2 \right).\)

* Hướng dẫn giải

\(f\left( x \right)+x{f}'\left( x \right)=4x+1\Leftrightarrow {{\left( x{f}'\left( x \right) \right)}^{\prime }}=4x+1\)

Lấy nguyên hàm hai vế theo x ta được \(xf\left( x \right)=2{{x}^{2}}+x+C.\)

Mà \(f\left( 1 \right)=3\) nên ta có \(1.f\left( 1 \right)={{2.1}^{2}}+1+C\Leftrightarrow 3=3+C\Rightarrow C=0\)

Từ đó \(xf\left( x \right)=2{{x}^{2}}+x\Rightarrow f\left( x \right)=2x+1\) (do x>0)

Suy ra \(f\left( 2 \right)=2.2+1=5.\)