Cho số phức z=a+bi \(\left( a,\,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z-3 \right|=\left| z-1 \right|\) và \(\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)\) là số thực. Tính...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(z=a+bi\,\left( a,\,b\in \mathbb{R} \right)\).

+) \(\left| z-3 \right|=\left| z-1 \right|\Leftrightarrow \left| a-3+bi \right|=\left| a-1+bi \right| \Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}} \Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}} \Leftrightarrow -4a+8=0 \Leftrightarrow a=2\).

+) \(\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)=\left( a+bi+2 \right)\left( a-bi-i \right)=\left[ \left( a+2 \right)+bi \right]\left[ a-\left( b+1 \right)i \right]=a\left( a+2 \right)+b\left( b+1 \right)-\left( a+2b+2 \right)i\)

\(\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)\) là số thực \(\Leftrightarrow a+2b+2=0\).

Thay a=2 tìm được b=-2. Vậy a+b=0.