Cho hàm số . Tính \(\int\limits_0^{{e^2} - 1} {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}dx} \)

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = \ln \left( {x + 1} \right) \Rightarrow dt = \frac{1}{{x + 1}}dx\)

Đổi cận \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2} = {e^2} - 1 \Rightarrow {t_2} = \ln \left( {{e^2} - 1 + 1} \right) = 2}\\ {{x_1} = 0 \Rightarrow {t_1} = \ln \left( {0 + 1} \right) = 0} \end{array}} \right.\)

Ta có: \(\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  + \int\limits_1^2 {f\left( t \right)}  = \int\limits_0^1 {3{x^2} + \int\limits_1^2 {4 - x}  = \frac{7}{2}} \)