Trong không gian cho ba vecto tùy ý a, b, c. Gọi vecto u = vecto a − 2 vecto b

* Hướng dẫn giải

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto $\overrightarrow{\mathrm{u}}$, $\overrightarrow{\mathrm{v}}$, $\overrightarrow{w}$ đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho $\overrightarrow{w}$ = p$\overrightarrow{\mathrm{u}}$ + q$\overrightarrow{\mathrm{v}}$

Giả sử có $\overrightarrow{w}$ = p$\overrightarrow{\mathrm{u}}$ + q$\overrightarrow{\mathrm{v}}$

2$\overrightarrow{\mathrm{c}}$ – 3$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = p($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – 2$\overrightarrow{\mathrm{b}}$) + q(3$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ − $\overrightarrow{\mathrm{c}}$)

⇔ (3 + p)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + (3q − 2p)$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ − (q + 2)$\overrightarrow{\mathrm{c}}$ =$\overrightarrow{0}$ (1)

Vì ba vecto lấy tùy ý $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

Như vậy ta có: $\overrightarrow{w}$ = −3$\overrightarrow{\mathrm{u}}$ − 2$\overrightarrow{\mathrm{v}}$ nên ba vecto $\overrightarrow{\mathrm{u}}$, $\overrightarrow{\mathrm{v}}$, $\overrightarrow{w}$ đồng phẳng.