Cho hai hàm số \(f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên R. Xét các mệnh đề sau 1) \(k.\int{f(x)\,\text{d}x=\int{k.f(x)\,\text{d}x}}\), với k là hằng số...

* Hướng dẫn giải

Mệnh đề đúng là mệnh đề 2

Thật vậy ta có \({{\left( \int{f\left( x \right)\text{d}x+\int{g\left( x \right)\text{d}x}} \right)}^{\prime }}={{\left( \int{f\left( x \right)\text{d}x} \right)}^{\prime }}+{{\left( \int{g\left( x \right)\text{d}x} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)+g\left( x \right)\)

Mệnh đề 1 sai

Nếu k=0 ta có VT=0; \(VP=\int{0dx}=C\ne VP\)

Mệnh đề 3 sai

Phản ví dụ chọn \(f\left( x \right)=1; g\left( x \right)=0\)

suy ra \(VT=\int{\left[ f\left( x \right)g\left( x \right) \right]}\,\text{d}x=\int{0dx}=C;\,VP=\int{f\left( x \right)\text{d}x.\int{g\left( x \right)\text{d}x}=\int{dx}.\int{0dx}=(x+{{C}_{1}})}.C2\)

Mệnh đề 4 sai vì \(VT=\int{\left[ {f}'\left( x \right)g\left( x \right)+f\left( x \right){g}'\left( x \right) \right]\text{d}x}=\int{{{\left[ f\left( x \right)g\left( x \right) \right]}^{\prime }}\text{d}x}=f\left( x \right)g\left( x \right)+C\ne VP\).