Cho số phức z có phần thực là số nguyên và thỏa mãn \(\left| z \right|-2\overline{z}=-7+3i+z\). Tính mô-đun của số phức \(w=1-z+{{z}^{2}}\)

* Hướng dẫn giải

Gọi z=a+bi ; \(a,b\in \mathbb{R};\,{{i}^{2}}=-1\); a là số nguyên. Theo đề ta có

\(|z|-2\overline{z}=-7+3i+z\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-2a+2bi=-7+3i+a+bi\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-2a)+2bi=(-7+a)+(3+b)i\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{a^2} + {b^2}} - 2a = - 7 + a\\ 2b = 3 + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{a^2} + 9} = 3a - 7\\ b = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a \ge \frac{7}{3}\\ 8{a^2} - 42a + 40 = 0 \end{array} \right.\\ b = 3 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ge \frac{7}{3}\\ \left[ \begin{array}{l} a = 4\\ a = \frac{5}{4} \end{array} \right.\\ b = 3 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = 3 \end{array} \right.\)

Khi đó z = 4 + 3i

Vậy \(w = 1 - z + {z^2} = 4 + 21i \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {457} \).