Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2019\) bằng

* Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là \(D=\left[ 1\,;\,2 \right]\), hàm số \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2019\) liên tục trên đoạn \(\left[ 1\,;\,2 \right]\).

Ta có \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt {2 - x} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x - 1} = \sqrt {2 - x} \\ x \ne 1,\,x \ne 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 = 2 - x\\ x \ne 1,\,x \ne 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\)

\(y(1)=2020; y(2)=2020; y(\frac{3}{2})=2019+\sqrt{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2019\) là 2020.