Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính cosin của góc giữa một mặt bên và mặt đáy.

* Hướng dẫn giải

Gọi tứ diện đều là S.ABCD, gọi \(O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\)

Gọi là I trung điểm của BC. Khi đó ta có \(\left\{ \begin{align} & BC\bot SO \\ & BC\bot OI \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOI \right)\Rightarrow BC\bot SI\).

Do đó \(\left( \widehat{\left( SBC \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SI,OI} \right)=\widehat{SIO}\).

Ta có \(OI=\frac{a}{2},\,SI=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Tam giác SOI vuông tại O \(\Rightarrow \cos \widehat{SIO}=\frac{OI}{SI}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\).