Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \({{4}^{x-1}}-m\left( {{2}^{x}}+1 \right)>0\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t={{2}^{x}}, t>0\Rightarrow t+1>0\)

Bài toán đã cho trở thành:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: \(\frac{{{t}^{2}}}{4\left( t+1 \right)}>m\,,\,\forall t>0\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}}{4\left( t+1 \right)},\,\left( t>0 \right)\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+2t}{4{{\left( t+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=0\,\left( l \right)\vee t=-2\,\left( l \right)\)

Bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên ta có \(m\in \left( -\infty ;\,0 \right]\) thỏa yêu cầu bài toán.