Bạn An cần mua một chiếc gương có đường viền là đường Parabol bậc 2. Biết rằng khoảng cách đoạn \(AB=60\,\text{cm}, OH=30\,\text{cm}\). Diện tích của chiếc gương bạn An mua là

* Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Đường viền chiếc gương là đường Parabol \(y=a{{x}^{2}}+bx+c\,\left( a\ne 0 \right)\) có đỉnh \(H\left( 0\,;\,30 \right)\) và đi qua điểm \(B\left( 30\,;\,0 \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} c = 30\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\\ 900a + 30b + c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = 30\\ b = 0\\ a = - \frac{1}{{30}} \end{array} \right.\)

Diện tích chiếc gương là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol \(y=-\frac{1}{30}{{x}^{2}}+30\) và trục hoành. Diện tích chiếc gương là: 

\(S = \int\limits_{ - 30}^{30} {\left| { - \frac{1}{{30}}{x^2} + 30} \right|{\rm{d}}x} = 2\left| {\int\limits_0^{30} {\left( { - \frac{1}{{30}}{x^2} + 30} \right){\rm{d}}x} } \right| = 2\left| {\left. {\left( { - \frac{1}{{90}}{x^3} + 30x} \right)} \right|_0^{30}} \right| = 1200\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)