Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(\widehat{ACB}=30{}^\circ \), biết góc giữa B'C và mặt phẳng \(\left( ACC'A' \right)\) bằng \(\alpha \) thỏa...

* Hướng dẫn giải

* Ta có: \(CC'\text{//} AA'\Rightarrow CC'\text{//} \left(AA'B'B \right)\)

Mà \(A'B\subset \left( AA'B'B \right),\,\) nên

\(d\left( CC'\,;\,A'B \right)=d\left( CC'\,;\,\left( AA'B'B \right) \right)=C'A'=a\sqrt{3}\,\)

* Ta có: \(AC=A'C'=a\sqrt{3}\,;\,AB=A'B'=a\,;\,\)

Diện tích đáy là \(B=dt\left( ABC \right)=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\)

* Dễ thấy \(A'B'\,\) \(\bot\) \(\left( ACC'A' \right)\,\)

Góc giữa B'C và mặt phẳng \(\left( ACC'A' \right)\) là \(\widehat{B'CA'}=\alpha \)

\(\sin \alpha =\frac{A'B'}{B'C}=\frac{1}{2\sqrt{5}}\,\,\Leftrightarrow \,B'C=2a\sqrt{5}\)

* Thể tích lăng trụ là V=B.h với \(h\,=\,CC': V=\,\,\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\,.\,4a=2{{a}^{3}}\sqrt{3}.\)