Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( BD{A}' \right)\).

* Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có \(\left\{ \begin{align} & BD\bot AO\,\, \\ & BD\bot A{A}' \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD\bot \left( A{A}'O \right)\)

Suy ra \(\left( BD{A}' \right)\bot \left( A{A}'O \right)\).

Kẻ \(AH\bot {A}'O\Rightarrow AH\bot \left( BD{A}' \right)\).

Suy ra \(AH=d\left( A,\,\,\left( BD{A}' \right) \right)\).

Xét tam giác \(A{A}'O\) vuông tại A có \(A{A}'=1, AO=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}: AH=\frac{A{A}'.AO}{\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{O}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Vậy \(d\left( A,\,\,\left( BD{A}' \right) \right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\).