Tìm giá trị của tham số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{2x+m}{x+1}\) trên đoạn \(\left[ 0;4 \right]\) bằng 3.

* Hướng dẫn giải

Ta có : \(y'=\frac{2-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\)

+ Xét m=2.

⇒ Hàm số trở thành : y=2 là hàm số hằng nên không đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3

\(\Rightarrow m=2\) (loại)

+ Xét m>2.

\(\Rightarrow y'=\frac{2-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}<0\text{ (}\forall x\ne -1) \Rightarrow \underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\min y}}\,=y(4)=\frac{8+m}{5}\)

\(\Rightarrow \frac{8+m}{5}=3\Leftrightarrow m=7\) (thoả mãn).

+ Xét m<2.

\(\Rightarrow y'=\frac{2-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0\text{ (}\forall x\ne -1) \Rightarrow \underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\min y}}\,=y(0)=m\)

\(\Rightarrow m=3\) (loại).

Vậy m=7.