Cho bất phương trình \(m{{.9}^{x}}+\left( m-1 \right){{.16}^{x}}+4\left( m-1 \right){{.12}^{x}}>0\) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng \(\left( \text{...

* Hướng dẫn giải

\(m{.9^x} + \left( {m - 1} \right){.16^x} + 4\left( {m - 1} \right){.12^x} > 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2x}} + 4\left( {m - 1} \right){\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} + m > 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Đặt \(t={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{x}},t>0\text{ }\forall x\). Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4\left( m-1 \right)t+m>0\text{ }\)

Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4\left( m-1 \right)t+m>0,\text{ }\forall t>0\)

\(\Leftrightarrow m>\frac{{{t}^{2}}+4t}{{{t}^{2}}+4t+1}\text{ , }\forall t>0\text{ }\left( 2 \right)\)

Xét hàm số \(y=f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+4t}{{{t}^{2}}+4t+1}\) với t>0, ta có \({y}'=\frac{2t+4}{{{\left( {{t}^{2}}+4t+1 \right)}^{2}}}>0\text{ , }\forall t>0\)

Bảng biến thiên

Bất phương trình \(\left( 2 \right)\) được thỏa mãn khi và chỉ khi đường thẳng y=m luôn nằm trên mọi điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( t \right)\). Từ BBT suy ra \(m\ge 1\)

Mà m là số nguyên thuộc khoảng \(\left( \text{0 };\text{ 10} \right)\) nên \(m\in \left\{ 1\text{ ; 2 ; 3 ;}\text{. }\text{. }\text{. ; 9 } \right\}\)