Cho đường thẳng d: \(\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+1}{2}\) và mặt phẳng (P): x-y-z-2=0. Phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (P) là

* Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2\,;\,-3\,;\,2 \right)\)

Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1\,;-1\,;\,-1 \right)\).

Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P);

Đường thẳng \({{d}^{'}}\) là hình chiếu vuông góc của d trên (P), \(d'=\left( P \right)\cap \left( Q \right)\)

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d'}}}\,,\,\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 5\,;\,4\,;\,1 \right)\)

Véc tơ chỉ phương của \({{d}^{'}}\) là \(\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}}\,,\,\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 3\,;\,-6\,;\,9 \right)=-3\left( -1\,;2\,;-3 \right)\)

Ta thấy đường thẳng \({{d}^{'}}\) thuộc (P) nên điểm \({{M}_{0}}\in d'\,\,\Rightarrow {{M}_{0}}\,\in (P)\). Thay tọa độ điểm \({{M}_{0}}\left( 1\,;\,1\,;\,-2 \right)\) ở đáp án A thấy thỏa mãn phương trình (P).